TEOREMA MOMENTUM SUDUT
Dalam gerak di 2-D dikenal besaran yang disebut dengan Momentum Sudut terhadap suatu titik tertentu, yaitu “Perkalian antara jarak partikel terhadap titik acuan dengan komponen momentum Linier yang tegak lurus terhadap vector posisi di atas”
L=mrv_θ

L=mrv sin⁡θ

v=rω→θ ̇

Atau dengan menggunakan notasi kinematika dalam koordinat polar :
v_θ= rθ ̇ → θ ̇ = ω
Momentum Sudut dapat pula ditulis
L=mr^2 θ ̇
Dalam 2 D dikenal juga besaran Torka yaitu perkalian antara jarak partikel ke titik acuan dengan komponen gaya yang tegak lurus vector posisi di atas:

τ=rF_θ
=rF sin⁡θ

Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu
dL/dt=d/dt (mr^2 θ ̇ )
=m d/dt (r^2 θ ̇ )
=m(dr/dt rθ ̇+r dr/dt θ ̇+r^2 (dθ ̇)/dt)
=m(r ̇rθ ̇+rr ̇θ ̇+r^2 θ ̈ )
=m(2rr ̇θ ̇+r^2 θ ̈ )
dL/dt=2mr r ̇θ ̇+mr^2 θ ̈
Tapi mengingat kinematika dalam koord.polar
a_θ=2r ̇θ ̇+rθ ̈
Jadi bila ma_θ=F_θ → Hukum Newton II
Maka
( dL)/dt=rm a_θ=r Fθ
Atau dL/dt=τ  ini yang disebut dengan Teorema Momentum Sudut.
Perhatikan bahwa di atas (2-D) Momentum Sudut dan Torka bersifat scalar. Tapi sebenarnya momentum sudut dan Torka adalah analogi dari momentum linier dan gaya. Jadi harus bersifat/merupakan besaran vector.
Hal ini disebabkan karena untuk 2-dimensi, arah L dan τ adalah tegak lurus terhadap bidang gerak
Untuk 3-D, perluasannya adalah sebagai berikut:
L ⃑=r ⃑mv sin⁡θ
Karena p ⃑=mv ⃑; v=|v ⃑ |
Maka L ⃑=r ⃑xp ⃑
Dan Torka dapat ditulis
τ = r F sin α
Jadi τ = r ⃑ x F ⃑
Untuk gerak 3D ini berlaku pula Teorema Momentum Sudut sebagai berikut:
dL/dt = (dr ⃑)/dt x p ⃑+ r ⃑ x (dp ⃑)/dt
= v ⃑ x mv ⃑+ r ⃑ x F ⃑
= 0 + r ⃑ x F ⃑
= τ
Kebalikannya
L ⃑_2- L ⃑_1=∫_0^2▒τ ⃑ dt
Bila gaya yang bekerja pada system tidak semuanya berasal dari potensial, ini disebut secara non-konservatif.
F= (-dv)/dx+ F^’
Hukum Gerak Newton untuk system ini dapat ditulis
(md^2 x)/(dt^2 )= -dv/dx+ F^’
atau
(md^2 x)/(dt^2 )+ dv/dx+ F^’
Atau
(md^2 x)/(dt^2 ) dx/dt+ dv/dx dx/dt=F^’ v ; v= dx/dt
atau
d/dt [1/2 m (dx/dt)^2 ]+ dv/dt=F’v
Atau
d/dt [τ+V]=F^’ v←daya

Dengan kata lain, Laju perubahan R, Mekanik system [τ+V] adalah sama dengan Daya dari gaya non-konservatif F’

Gerak Dalam Pengaruh Gaya Konstant

F ⃑=konstan
Untuk F ⃑= (dp ⃑)/dt ; p ⃑=mv ⃑
Dengan massa konstan, maka:
F ⃑=m . (dv ⃑)/dt
Integrasi terhadap waktu memberikan:
∫_(t_o)^t▒F ⃑ dt= ∫_(t_o)^t▒m (dv ⃑)/dt .dt
Atau
v ⃑-(v_o ) ⃑= F ⃑/m t,F ⃑/m= α ⃑

Karena v=(dr ⃗)/dt
Dengan integrasi sekali lagi dapat diperoleh:
v ⃑-(v_o ) ⃑= F ⃑/m t

v ⃑=(v_o ) ⃑+ F ⃑/m t

∫_(r ⃗_0)^r ⃗▒〖dr ⃗ 〗=∫_0^t▒((v_o ) ⃑+ F ⃑/m t) dt

├ r ⃗ ┤|_(r ⃗_0)^r ⃗ =├ ((V_o ) ⃑t+ 1/2 (F ⃑/m) t^2 ) ┤|_0^t

r ⃑-(r_o ) ⃑= (V_o ) ⃑t+ 1/2 (F ⃑/m) t^2→GLBB

Gerak Dalam Gaya Bergantug Waktu : F ⃑= F ⃑(t)

Hukum Gerak memberikan:
∫▒F ⃑ (t)dt= ∫▒m (dv ⃑)/dt dt

=mv ⃑- mv ⃗_0

Karena:
P ⃑=mv ⃑

Maka hubungan di atas yang dikenal dengan Teorema momentum yang dapat ditulis sbb:
∆p ⃑=∫▒F ⃑ dt ← Impuls

Contoh:
Suatu electron bergerak sepanjang sb.x dipengaruhi oleh medan listrik E ⃑ dalam arah sb.x dengan besar
E= E_0 cos⁡〖(wt+〗 φ_0)

Tentukan vektor kecepatan dan percepatan ?

jawab∶

Gaya yang dialami electron adalah:
F=-qE=-qE_0 cos⁡〖(wt+〗 φ_0)i ̂
“Dalam contoh ini, gerak hanya satu dimensi, jadi tidak perlu pakai notasi vektor”
Solusi:
Persamaan Gerak dari system elektron ini adalah:
∆p=mv ⃗-mv ⃗_0=∫▒F dt
atau
v ⃗-v ⃗_0=□((-qE_0)/m) ∫_0^t▒cos⁡(ωt+φ_0 ) dt=├ (-qE_0)/mω sin⁡(ωt+φ_0 ) ┤|_0^t

v ⃗-v ⃗_0=(-qE_0)/mω sin⁡(ωt+φ_0 )+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 )

v ⃗=v ⃗_0+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 )-(qE_0)/mω sin⁡(ωt+φ_0 )

Posisi elektron diberikan oleh:
x-x_0=∫_0^t▒(v ⃗_0+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 )-(qE_0)/mω sin⁡(ωt+φ_0 ) )dt

x-x_0= ├ v ⃗_0+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 )-(qE_0)/(mω^2 ) cos⁡(ωt+φ_0 ) ┤|_0^t
x-x_0= (v ⃗_0+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 ) )t-(qE_0)/(mω^2 ) (cos⁡(ωt+φ_0 )-cos⁡〖φ_0 〗 )

x=x_0+(v ⃗_0+(qE_0)/mω sin⁡(φ_0 ) )t-(qE_0)/(mω^2 ) (cos⁡(ωt+φ_0 )-cos⁡〖φ_0 〗 )
Dari rumus ini didapat t=t(v)
Untuk mencari v tinggal inverse saja v=v(t)
Setelah kita dapatkan rumus kecepatan v=v(t), maka selanjutnya kita dapat mencari rumus posisi
t-t_o=m∫▒dv/F(v)

F(v)=m dv/dt=m dv/dx dx/dt=mv dv/dx

dv/dx=(F(v))/mv⇒dx/dv=mv/(F(v))⇒∫▒〖dx=〗 ∫_(v_o)^v▒(mv dv)/(F(v))
Sehingga
x-x_o=∫_(v_o)^v▒(mv dv)/F(v)
Dari hasil ini akan didapat hubungan x sebagai fungsi v, yaitu:
x=x(v)—– x(t)
x = v(t)

Gaya Bergantung Pada Kecepatan

〖 F〗_x=F_x (v ⃑ )= F_x (v_x 〖,v〗_y 〖,v〗_z )
F ⃑= F ⃑(v ⃑ ) F_y=F_y (v ⃑ )= F_y (v_x 〖,v〗_y 〖,v〗_z )
〖 F〗_z=F_z (v ⃑ )= F_z (v_x 〖,v〗_y 〖,v〗_z )

Gaya yang bergantung pada kecepatan ini misalnya adalah gaya gerak
F=±bv^n
“Tanda negatip dipergunakan untuk n yang ganjil, sedangkan untuk n genap tanda dipilih sedemikian rupa sehingga arah gaya gesek berlawanan dengan arah gerak.”
Sebagai contoh, tinjau gaya gesek yang bekerja pada suatu

benda yang bergerak di atas air (gerak 1D)
F= – bv
Arah gaya berlawanan dengan arah gerak
B= konstanta positip
τ= -bv
Maka:
F=-bv
m dv/dt=-bv
dv/v=-b/m dt
∫_(v_o)^v▒dv/v=-b/m ∫_(t_o)^t▒dt⇚ ∫_(v_o)^v▒dv/F(v) =1/m ∫_(t_o)^t▒dt

ln v/v_0 =-b/m(t-t_0)

v=v_0 e^(-b/m(t-t_0))

Persamaan ini menunjukkan bahwa kecepatan makin
lama makin berkurang.

Sketsa grafik kecepatan diatas :

Untuk mencari posisi:

∫_(x_o)^x▒dx= ∫_0^t▒〖v ⃗ dt〗

x-x_0=∫_(v_o)^v▒(mv dv)/F(v) =-m/b ∫_(v_o)^v▒(v dv)/v

x-x_0=-m/b ├ v┤|_(v_0)^v

x-x_0=-m/b (v-v_0 )

x=x_0-m/b v_0 [exp-b/m (t-t_0 )-1]

=x_0+m/b v_0 [1-exp-b/m (t-t_0 ) ]

x=x_0+m/b v_0 [1-e^(-b/m(t-t_0)) ]

Sketsa grafik posisi diatas :

Jadi: kecepatan benda berkurang sampai akhirnya diam. Posisi benda mula-mula di x_0=0 bergeser di titik 〖x=x〗_0+m/b v_0 dan diam di titik itu.

Pada waktu t→∞

v_∞=0

x-x_0→ (mv_0)/b

Pada konstanta b≪ , maka nilai b/m≪
Sehingga dapat dilakukan uraian deret Taylor untuk suku eksponen:
e^∝=1+∝+∝^2/2!+⋯ ∝≪ → α^3,α^4 dst dapat diabaikan

Jadi dengan b≪ , diperoleh:

v=v_0 (1-b/m t+⋯)

v≅v_0-(b/m v_0 )t
Dan

x-x_0=(mv_0)/b [1-(1-b/m t+1/2 (b/m)^2 t^2-…)]

x=(mv_0)/b [1-(1-b/m t+1/2 (b/m)^2 t^2-…)]

〖x≅v〗_0 (t-t_0 )-1/2 b/m v_0 (t-t_0 )^2

〖≅v〗_0 t-1/2((bv_0)/m)t^2 GLBB

Yang tidak lain adalah solusi persamaan gerak benda yang dipengaruhi gaya konstan sebesar:
F=-bv_0
Contoh berikutnya adalah :
gerak jatuh bebas
dengan memperhitungkan gesekan udara. Persamaan geraknya adalah:
F=-mg-bv_y=-(mg+bv_y)
-(mg+bv_y )=m (dv_y)/dt
Asumsi gerak benda :

Yang penyelesaiannya adalah:

∫_(v_0y)^(v_y)▒〖dv〗_y/〖mg+bv〗_y =-1/m ∫_0^t▒dt

├ ln⁡(〖mg+bv〗_y ) ┤| ■(v_y@v_0y )=-b/m(t-t_o)

ln(〖mg+bv〗_y/〖mg+bv〗_0y )=-b/m(t-t_o)

mg+bv_y=(mg+bv_0y ) e^(-b/m (t-t_0 ) )

v_y=-mg/b+(mg/b+v_0y ) exp⁡〖(-b/m (t-t_o ))〗

Dengan mengintegrasikan sekali lagi di dapatkan posisi:
y-y_0=∫_(t_o)^t▒v_y dt=∫_(t_o)^t▒[-mg/b+(mg/b+v_0 ) exp⁡〖(-b/m (t-t_o ))〗 ] dt

=- mg/b ├ t┤|_(t_0)^t+(mg/b+v_0 )(-m/b) ├ exp⁡〖(-b/m (t-t_o )〗 ┤|_(t_0)^t

=-mg/b (t-t_o )+(mg/b+v_0 )(-m/b)[exp⁡〖-b/m (t-t_o )-1〗 ]

=-mg/b (t-t_o )+m/b (mg/b+v_0 )[〖1-exp〗⁡〖-b/m (t-t_o )〗 ]

y=y_0-mg/b (t-t_o )+m/b (mg/b+v_0 )[〖1-exp〗⁡〖-b/m (t-t_o )〗 ]

Dengan demikian:
v=v_(0 ) pada t=t_0

v=-mg/b pada t→∞

v=〖-v〗_(τ ) (Kecepatan Akhir)

v_y=〖-v〗_(τ )+(v_(τ )+v_(0 ))[exp⁡〖-b/m (t-t_o )〗 ]

Pada t→∞→berbentuk geras lurus beraturan.

Bila kedua contoh di atas digabungkan, diperoleh persoalan gerak peluru dengan memperhitungkan gesekan udara.
Persamaan geraknya:

m dv/dt=-mgj ̂-bv ⃗

dimana
v ⃗=dx/dt i ̂+dy/dt j ̂

Solusi dari persamaan gerak ini telah dihitung yaitu:

v_x=v_(x_0 ) e^(- b/m t)

x-x_0=(mv_(x_0 ))/b [1〖- e〗^(- b/m t) ]

Pilih (x_0,y_0 )=(0,0) , maka dari posisi dalam sumbu x dapat ditulis:

t=-m/b ln((mv_(x_0 )-bx)/(mv_(x_0 ) ))

t=m/b ln((mv_(x_0 ))/(mv_(x_0 )-bx))

Subtitusi ke dalam persamaan posisi sumbu y memberikan:
y=(mg/(bv_(x_0 ) )+v_(y_0 )/v_(x_0 ) )x+(m^2 g)/b^2 ln⁡[1-bx/(mv_(x_0 ) )]
Bila b≪ atau bx/(mv_(x_0 ) )≪ dapat dilakukan aproximasi dengan mengingat:

ln⁡(1-α)≅-α-α^2/2-α^3/3-…

Untuk α≪ , di dapat:

y=(v_(y_0 )/v_(x_0 ) )x-1/2 (g/v_(x_0 ) ) x^2-1/3 bg/〖〖mv〗_(x_0 )〗^3 x^3……….

Bentuk lintasan yang di gambarkan oleh persamaan lintasan di atas dapat dicari dengan melihat nilai asymtoticnya.

v ⃗=v_x i ̂+v_y j ̂

r ⃗=xi ̂+xj ̂

Untuk b≫ diperoleh bahwa:

v ⃗_(t_≫ )≅-mg/b j ̂

t_(t_≫ )≅(mv_(x_0 ))/b

Titik tertinggi yang dapat dicapai oleh peluru dapat dihitung sebagai berikut:

v_y=0 → t_(y_max ) m/b ln⁡[1+〖bv〗_(y_0 )/mg]

Nilai 〖 t〗_(y_max ) disubtitusikan ke persamaan posisi y didapat

y_max=m/b [mg/b+v_(y_0 ) ][1-1/(1+〖bv〗_(y_0 )/mg)]-(m^2 g)/b^2 ln[1+〖bv〗_(y_0 )/mg]

Misalkan b≪ dan mengingat aproximasi

(1+α)^(-1)≅1-α+α^2-α^3+⋯

Didapat:
y_max=〖v^2〗_(y_0 )/2g-〖v^3〗_(y_0 )/〖3mg〗^2